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Erlang C

The Erlang distribution is a continuous probability distribution with wide applicability primarily due to its relation to the exponential and Gamma distributions. The Erlang distribution was developed by A. K. Erlang to examine the number of telephone calls which might be made at the same time to the operators of the switching stations. This work on telephone traffic engineering has been expanded to consider waiting times in queueing systems in general. The distribution is now used in the field of stochastic processes.

Overview

The Erlang distribution is a continuous distribution, which has a positive value for all the numbers greater than zero, and is parameterized by two parameters: the shape k, which is an integer, and the rate \lambda, which is a real. The distribution is sometimes defined using the inverse of the rate parameter, the scale \theta. When the shape parameter k equals 1, the distribution simplifies to the exponential distribution. The Erlang distribution is a special case of the Gamma distribution where the shape parameter k is an integer. In the Gamma distribution, this parameter is a real.

Specification of the Erlang distribution

Probability density function

The probability density function of the Erlang distribution is :f(x; k,\lambda)=\quad\mboxx>0. where e is the base of the natural logarithm and ! is the factorial function. The parameter k is called the shape parameter and the parameter \lambda is called the rate parameter. An alternative, but equivalent, parametrization uses the scale parameter \theta which is simply the inverse of the rate parameter (i.e. \theta = 1/\lambda): :f(x; k,\theta)=\frac\quad\mboxx>0. Because of the factorial function in the denominator, the Erlang distribution only defined when the parameter k is a positive integer. The Gamma distribution generalizes the Erlang by allowing its first parameter to be a real, using the gamma function instead of the factorial function.

Cumulative distribution function

The cumulative distribution function of the Erlang distribution is :F(x; k,\lambda) = \frac where \gamma() is the incomplete gamma function.

Occurrence

Waiting times

There are two commonly used versions of the Erlang distribution, depending on the traffic assumptions modelled:
- Erlang B distribution - Does not allow queuing of blocked calls
- Erlang C distribution - Allows Unlimited queuing of blocked calls until they are served The Erlang B and C distributions are still in everyday use for traffic modelling for applications such as the design of call centres.

Compartment models

The Erlang distribution also occurs as a description of the rate of transition of elements through a system of compartments. Such systems are widely used in biology and ecology.

Stochastic processes

The Erlang distribution is the distribution of the sum of k independent identically distributed random variables each having an exponential distribution.

See also


- Exponential distribution
- Gamma distribution
- Poisson distribution
- Coxian distribution
- Erlang unit
- Engset calculation

External links


- [http://www.xycoon.com/erlang.htm Erlang Distribution]
- [http://www.angustel.ca/reports/Erlang%20B%20&%20C.PDF An Introduction to Erlang B and Erlang C by Ian Angus] (PDF Document - Has terms and formulae plus biography)
- [http://www.eventhelix.com/RealtimeMantra/CongestionControl/resource_dimensioning_erlang_b_c.htm Resource Dimensioning Using Erlang-B and Erlang-C]
- [http://www.kooltoolz.com/Erlang-C.htm Erlang-C] Category:Continuous distributions

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